C. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR BERDIMENSI TIGA

C. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR BERDIMENSI TIGA
Dalam operasi aljabar vektor kita tidak mengenal pembagian dua vektor. Dalam hal ini kita hanya menentukan perbandingan panjang dua vektor, atau perbandingan ruas garis.
Secara geometris terdapat tiga aturan perbandingan ruas garis, yaitu:

Catatan : Bentuk (a) dapat dinyatakan dalam kalimat : “P membagi AB di dalam dengan perbandingan m : n
Bentuk (b) dan (c) dapat dinyatakan dalam kalimat : “P membagi AB di luar dengan perbandingan m : n

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Diketahui sebuah ruas garis AB dengan panjang 9 cm. Jika AP : PB = 2 : 1, gambarlah letak titik P
Jawab


02. Diketahui sebuah ruas garis AB dengan panjang 4 cm. Jika AP : PB = –2 : 1, gambarlah letak titik P
Jawab


03. Diketahui sebuah ruas garis AB dengan panjang 4 cm. Jika P membagi AB di luar dengan perbandingan panjang 2 : 3, maka gambarkanlah letak titik P
Jawab

(2) Tinjauan Analitis Perbandingan Vektor

Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal di O(0,0) dan dilambangkan dengan satu huruf kecil, sehingga

Sebagai contoh diketahui A(2, -3, 4) maka vektor posisi a adalah a = 2 i – 3 j + 4 k
Jika OA + AB = OB

Sebagai contoh jika diketahui A(2, -1, 6) dan B(-3, 2, 4) maka:

Menurut rumus perbandingan ruas garis

Sehingga untuk A(Ax, Ay, Az) dan B(Bx ,By, Bz) serta P(Px, Py, Pz) terletak segaris dengan AB dan memiliki perbandingan AP : PB = m : n, maka berlaku:

04. Misalkan P, Q dan R adalah tiga titik yang segaris dan berlaku PR : RQ = –2 : 5 maka nyatakanlah vektor r dalam p dan q
Jawab


05. Jika titik A, B dan P kolinier dengan perbandingan AP : PB = –4 : 3 maka nyatakanlah vektor a dalam p dan b
Jawab

B. OPERASI PADA VEKTOR BERDIMENSI TIGA

B.  OPERASI PADA VEKTOR BERDIMENSI TIGA

Vektor Pada Ruang ( Dimensi 3)

Vektor di ruang 3 adalah vektor yang mempunyai 3 buah sumbu yaitu x , y , z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan.

Vektor p pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk :

1. koordinat kartesius p  =  (x, y, z)
2. vektor kolom p  =   atau, vector baris p=(x,y,z)
3. kombinasi linear vektor satuan i, j, k yaitu : p  = xi + yj + zk

dengan i =,j =, dan k =

i = vektor satuan dalam arah OX

j = vektor satuan dalam arah OY

k = vektor satuan dalam arah OZ

Modulus Vektor

Modulus vektor yaitu besar atau panjang suatu vektor. Jika suatu vektor  dengan koordinat titik A (x₁ , y₁ ,z₁) dan B (x₂ , y₂ , z₂) maka modulus (besar) atau panjang vektor   dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu :

Dan jika suatu vektor a disajikan dalam bentuk linear a = a₁i + a₂j + a₃k , maka modulus vektor a adalah :

Vektor Posisi

Vektor posisi titik P adalah vektor  yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0 , 0 , 0) dan berujung di titik P (x , y , z), bila ditulis

Modulus / besar vektor posisi  adalah :

A. VEKTOR DIMENSI TIGA

A. Pengertian Vektor  Dimensi Tiga
     Vektor di ruang 3 adalah vektor yang mempunyai 3 buah sumbu yaitu x , y , z yang saling            tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan.
     
     
     

Modulus vektor yaitu besar atau panjang suatu vektor. Jika suatu vektor  dengan koordinat titik A (x₁ , y₁ ,z₁) dan B (x₂ , y₂ , z₂) maka modulus (besar) atau panjang vektor   dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu :

Dan jika suatu vektor a disajikan dalam bentuk linear a = a₁i + a₂j + a₃k , maka modulus vektor a adalah :

Vektor Posisi

Vektor posisi titik P adalah vektor  yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0 , 0 , 0) dan berujung di titik P (x , y , z), bila ditulis

Modulus / besar vektor posisi  adalah :